Задача стимулирования

Основным аппаратом моделирования задач стимулирования в теории управления является теория игр - раздел прикладной математики, исследующий модели принятия решений в условиях несовпадения интересов сторон (игроков), когда каждая сторона стремится воздействовать на развитие ситуации в собственных интересах [11, 35].
Простейшей игровой моделью является взаимодействие двух игроков - центра (principal) и подчиненного ему агента (agent). Такая организационная система (ОС) имеет следующую структуру: на верхнем уровне иерархии находится центр, на нижнем - подчиненный ему агент. В качестве центра может выступать работодатель, непосредственный руководитель агента или организация, заключившая трудовой (или какой-либо иной - страховой, подрядный и т. д. - см. ниже) договор с агентом. В качестве агента может выступать наемный работник, подчиненный или организация, являющиеся второй стороной по соответствующему договору.

Стратегией агента является выбор действия y I A, принадлежащего множеству допустимых (то есть, удовлетворяющих существующим ограничениям) действий A. Содержательно действием агента может быть количество отрабатываемых часов, объем произведенной продукции и т. д. Множество допустимых действий представляет собой набор альтернатив, из которых агент производит свой выбор, например, диапазон возможной продолжительности рабочего времени, неотрицательный и не превышающий технологические ограничения объем производства и т. д.

Введем ряд определений. Механизмом стимулирования называется правило принятия центром решений относительно стимулирования агента. Механизм стимулирования включает в себя систему стимулирования, которая в рамках моделей, рассматриваемых в настоящей работе, полностью определяется функцией стимулирования. Функция стимулирования задает зависимость размера вознаграждения агента, получаемого им от центра, от выбираемых действий. Поэтому в дальнейшем мы будем употреблять термины «механизм стимулирования», «система стимулирования» и «функция стимулирования» как синонимы.

Стратегией центра является выбор функции стимулирования о(-) є М, принадлежащей допустимому множеству М и ставящей в соответствие действию агента некоторое неотрицательное вознаграждение, выплачиваемое ему центром, то есть о: А ® ^і+. Множество допустимых вознаграждений может ограничиваться как законодательно (например, минимальным размером оплаты труда), так и, например, соображениями экономической эффективности деятельности центра, тарифно-квалификационными требованиями к оплате труда данного агента и т. д.

Выбор действия у є А требует от агента затрат с(у) и приносит центру доход Н(у)7. Функцию затрат агента с(у) и функцию дохода центра Н(у) будем считать известными (см. обсуждение проблем и результатов их идентификации в [14, 23]).

Интересы участников организационной системы (центра и агента) отражены их целевыми функциями (функциями выигрыша, полезности и так далее, в записи которых зависимость от стратегии центра будет опускаться), которые обозначим соответственно: Ф(у) и/(у).

Целевые функции представляют собой: для агента - разность между стимулированием и затратами:

/(у) = а(у) - с (у), (1)

а для центра - разность между доходом и затратами центра на стимулирование - вознаграждением, выплачиваемым агенту:

Ф(у) = н(у)- о(у). (2)

После того как введены целевые функции, отражающие предпочтения участников ОС, целесообразно обсудить различия в описании морального и материального стимулирования.

Наличие скалярной целевой функции подразумевает существование единого эквивалента, в котором измеряются все компоненты целевых функций (затраты агента, доход центра и, естественно, само стимулирование).

В случае, когда речь идет о материальном вознаграждении агента, таким эквивалентом выступают деньги. Содержательные интерпретации дохода центра при этом очевидны (более того, практически во всех работах, содержащих описание формальных моделей стимулирования, предполагается, что и стимулирование, и доход центра «измеряются» в денежных единицах). Сложнее дело обстоит с затратами агента, ведь не всегда можно адекватно выразить в денежных единицах, например, удовлетворенность агента работой и т. д. С экономической точки зрения затраты агента можно интерпретировать как денежный эквивалент тех усилий, которые агент должен произвести для достижения того или иного действия. В рамках такой интерпретации вполне естественной выглядит идея компенсации затрат - вознаграждение со стороны центра должно как минимум компенсировать затраты агента (см. более подробно формальное описание ниже).

Если затраты агента измеряются в некоторых единицах «полезности» (учитывающей, например, физическую усталость, моральное удовлетворение от результатов труда и т. д.), отличных от денежных единиц (и несводимых к ним линейным преобразованием), то для того, чтобы иметь возможность складывать или вычитать полезности при введении целевой функции типа (1), необходимо определить полезность вознаграждения. Например, если используется материальное стимулирование, то можно ввести функцию полезности и(о(у)), которая отражала бы полезность денег для рассматриваемого агента. Целевая функция агента при этом примет вид: / (у) = и(о(у)) - с (у).

Введем следующие предположения, которых будем придерживаться, если не оговорено особо, в ходе дальнейшего изложения.

Во-первых, будем считать, что множество А возможных действий агента составляет положительную полуось . Отказу агента от участия в рассматриваемой ОС (бездействию) соответствует нулевое действие (у = 0).

Во-вторых, относительно функции затрат агента с(у) предположим, что она не убывает, непрерывна, а затраты от выбора нулевого действия равны нулю (иногда дополнительно будем требовать, чтобы функция затрат была выпукла и непрерывно дифференцируема).

В третьих, допустим, что функция дохода центра Н(у) непрерывна, принимает неотрицательные значения и доход центра достигает максимума при ненулевых действиях агента.

В четвертых, предположим, что значение вознаграждения, выплачиваемого центром агенту, неотрицательно: а(у) > 0.

Приведем содержательные интерпретации введенных предположений.

Первое предположение означает, что возможными действиями агента являются неотрицательные действительные числа, например, количество отработанных часов, объем произведенной продукции и т. д.

Из второго предположения следует, что выбор больших действий требует от агента не меньших затрат, например, затраты могут расти с ростом объема выпускаемой продукции. Кроме того, нулевое действие (отсутствие деятельности агента) не требует затрат, а предельные затраты8 возрастают с ростом действия, то есть каждый последующий прирост действия на одну и ту же величину требует все больших затрат.

Третье предположение накладывает ограничения на функцию дохода центра, требуя, чтобы центру была выгодна деятельность агента (в противном случае - если максимум дохода центра достигается при бездействии агента - задачи стимулирования не возникает, так как в этом случае центр может ничего не платить агенту, а тот в силу второго предположения ничего не будет делать).

Четвертое предположение означает, что центр не может штрафовать агента.

Рациональное поведение участника ОС заключается в максимизации (выбором собственной стратегии) его целевой функции с учетом всей имеющейся у него информации.

Определим информированность игроков и порядок функционирования. Будем считать, что на момент принятия решения (выбора стратегии) участникам ОС известны все целевые функции и все допустимые множества. Специфика теоретико-игровой задачи стимулирования заключается в том, что в ней фиксирован порядок ходов (игра Г2 с побочными платежами в терминологии теории иерархических игр [9]

). Центр - метаигрок - обладает правом первого хода, сообщая агенту выбранную им стратегию - функцию стимулирования, после чего при известной стратегии центра агент выбирает свое действие, максимизирующее его целевую функцию.

Итак, мы описали все основные параметры модели любой ОС (состав, структура, допустимые множества, целевые функции, информированность и порядок функционирования), что дает возможность сформулировать собственно задачу управления - задачу синтеза оптимального механизма стимулирования.

Так как значение целевой функции агента зависит как от его собственной стратегии - действия, так и от функции стимулирования, то в рамках принятой гипотезы рационального поведения агент будет выбирать действия, которые при заданной системе стимулирования максимизируют его целевую функцию. Понятно, что множество таких действий, называемое множеством реализуемых действий, зависит от используемой центром системы стимулирования. Основная идея стимулирования заключается в том, что, варьируя систему стимулирования, центр может побуждать агента выбирать те или иные действия.

Так как целевая функция центра зависит от действия, выбираемого агентом, то эффективностью системы стимулирования называется значение целевой функции центра на множестве действий агента, реализуемых данной системой стимулирования (то есть тех действий, которые агент выбирает при данной системе стимулирования). Следовательно, задача стимулирования заключается в том, чтобы найти оптимальную систему стимулирования, то есть допустимую систему стимулирования, имеющую максимальную эффективность. Приведем формальные определения.

Множество действий агента, доставляющих максимум его целевой функции (и, естественно, зависящее от функции стимулирования), называется множеством решений игры, или множеством действий, реализуемых данной системой стимулирования:

Р (о) = Arg max {о (у) - c (у)}. (3)

уеЛ

Зная, что агент выбирает действия из множества (3), центр должен найти систему стимулирования, которая максимизировала бы его собственную целевую функцию. Так как множество Р(о) может содержать более одной точки, необходимо доопределить (с точки зрения предположений центра о поведении агента) выбор агента. Если выполнена гипотеза благожелательности9 (ГБ), которую будем считать имеющей место, если не оговорено особо, в ходе дальнейшего изложения, то агент выбирает из множества (3) наиболее благоприятное для центра действие. Альтернативой для центра является расчет на наихудший для него выбор агента из множества решений игры.

Следовательно, эффективность системы стимулирования о е М равна:

К(о) = max Ф(у), (4)

уеР (о)

где Ф(у) определяется (2).

Задача синтеза оптимальной системы стимулирования заключается в выборе допустимой системы стимулирования, имеющей максимальную эффективность:

К(о) ® max . (5)

оеМ

Следует отметить, что введенные выше предположения согласованы в следующем смысле. Агент всегда может выбрать нулевое действие, не требующее от него затрат (второе предположение). В то же время центр имеет возможность ничего не платить ему за выбор этого действия.

Во всех содержательных интерпретациях теоретикоигровых моделей стимулирования предполагается, что у агента имеется альтернатива - сохранить статус-кво, то есть не вступать во взаимоотношения с центром (не заключать трудового контракта). Отказываясь от участия в данной ОС, агент не получает вознаграждения от центра и всегда имеет возможность выбрать нулевое действие, обеспечив себе неотрицательное (точнее - нулевое) значение целевой функции.

Сделав маленькое отступление, обсудим более подробно модель процесса принятия решений агентом. Предположим, что некоторый агент предполагает устроиться на работу на некоторое предприятие. Ему предлагается контракт

*

{s(y), x }, в котором оговаривается зависимость ст(-) вознаграждения от результатов у его деятельности, а также то,

*

какие конкретные результаты x от него ожидаются. При каких условиях агент подпишет контракт, если обе стороны - и агент, и предприятие (центр) принимают решение о подписании контракта самостоятельно и добровольно? Рассмотрим сначала принципы, которыми может руководствоваться агент.

Первое условие - условие согласованности стимулирования (incentive compatibility constraint), которое заключается в том, что при участии в контракте выбор именно действия y* (а не какого-либо другого допустимого действия) доставляет максимум его целевой функции. Другими словами, это условие того, что система стимулирования согласована с интересами и предпочтениями агента.

Второе условие - условие участия в контракте (иногда его называют условием индивидуальной рациональности - individual rationality constraint), которое заключается в том, что, заключая данный контракт, агент ожидает получить полезность, большую, чем он мог бы получить, заключив другой контракт с другой организацией (с другим центром).

Представления агента о своих возможных доходах на рынке труда отражает такая величина, как резервная заработная плата, то есть частным случаем условия индивидуальной рациональности является ограничение резервной заработной платы.

Аналогичные приведенным выше для агента условия согласованности и индивидуальной рациональности можно сформулировать и для центра. Если имеется единственный агент - претендент на заключение контракта, то контракт будет выгоден для центра при выполнении двух условий.

Первое условие (аналогичное условию согласованности стимулирования) отражает согласованность системы стимулирования с интересами и предпочтениями центра, то есть применение именно фигурирующей в контракте системы стимулирования должно доставлять максимум целевой функции (функции полезности) центра (по сравнению с использованием любой другой допустимой системы стимулирования) (см. (4)).

Второе условие для центра аналогично условию участия для агента, а именно - заключение контракта с данным агентом выгодно для центра по сравнению с сохранением статус-кво, то есть отказом от заключения контракта вообще. Например, если считать, что прибыль предприятия (значение целевой функции центра) без заключения контракта равна нулю, то при заключении контракта прибыль должна быть неотрицательна.

Качественно обсудив условия заключения взаимовыгодного трудового контракта, вернемся к формальному анализу, то есть решению задачи стимулирования (5). Отметим, что решение данной задачи «в лоб» достаточно трудоемко. Но, к счастью, можно угадать оптимальную систему стимулирования исходя из содержательных соображений, а затем корректно обосновать ее оптимальность.

Предположим, что использовалась некоторая система стимулирования ст(-), при которой агент выбирал действие х е Р (&(?)). Утверждается, что если взять другую систему стимулирования ст(-), которая будет равна нулю всюду, кроме точки х, и будет равна старой системе стимулирования в точке х:

то и при новой системе стимулирования с~ (•) это же действие агента у = х будет доставлять максимум его целевой функции.

Приведем формальное доказательство этого утверждения. Условие того, что выбор действия х доставляет максимум целевой функции агента при использовании системы стимулирования ст(-), можно записать в следующем виде: разность между стимулированием и затратами будет не меньше, чем при выборе любого другого действия:

"у є А о (х) - с(х) > о (у) - с(у).

Заменим систему стимулирования о(-) на систему стимулирования о(-), тогда получим следующее: в точке х система стимулирования о(-) по-прежнему равна системе стимулирования о(-). В правой части будет тогда записана система стимулирования о(-) :

"у є А о (х) - с(х) > о (у) - с(у) .

Если выполнялась первая система неравенств, то выполняется и новая система неравенств. Следовательно, х є Р(о (•)).

На рис. 2.1 изображены графики функций: Н(у) и с (у). С точки зрения центра стимулирование не может превышать доход, получаемый им от деятельности агента (так как, отказавшись от взаимодействия с агентом, центр всегда может получить нулевую полезность). Следовательно, допустимое решение лежит ниже функции Н(у). С точки зрения агента стимулирование не может быть меньше, чем сумма затрат и резервная полезность (которую агент всегда может получить, выбирая нулевое действие). Следовательно, допустимое решение лежит выше функции с (у).

Множество действий агента и соответствующих значений целевых функций, удовлетворяющих одновременно всем перечисленным выше ограничениям (согласования и индивидуальной рациональности, как для центра, так и для агента), - «область компромисса» заштрихована на рис. 2.1. Множество действий агента, при которых область компромисса не пуста, называется множеством согласованных планов:

? = (х є А | Н(х) > с(х) > 0}. (9)

Рис. 2.1. Оптимальное решение задачи стимулирования

Так как центр стремится минимизировать выплаты агенту при условии, что последний выбирает требуемое действие, то оптимальная точка в рамках гипотезы благожелательности должна лежать на нижней границе области ком- промисса, то есть стимулирование в точности должно равняться затратам агента. Этот важный вывод получил название «принцип компенсации затрат». В соответствии с этим принципом, для того чтобы побудить агента выбрать определенное действие, центру достаточно компенсировать затраты агента.

Кроме компенсации затрат, центр может устанавливать также мотивирующую надбавку10 5 > 0. Следовательно, для того чтобы агент выбрал действие х є А, стимулирование со стороны центра за выбор этого действия должно быть не меньше

(6)

а (х) = с (х) + 5.

Легко видеть, что если в случае выбора агентом других действий (отличных от х) вознаграждение равно нулю, то выполнены как условия согласованности стимулирования, так и условие индивидуальной рациональности агента. При этом стимулирование (10) со стороны центра является минимально возможным. Следовательно, мы доказали, что параметрическим (с параметром х е 3) решением задачи (5) является следующая система стимулирования:

которая называется компенсаторной (К-типа).

Параметр х в А, фигурирующий в компенсаторной системе стимулирования, в теории управления называется планом - желательным с точки зрения центра действием агента. План является согласованным, если его выполнение (выбор действия, совпадающего с планом) выгодно агенту, то есть принадлежит множеству реализуемых действий (тех действий, на которых достигается максимум целевой функции агента). Принцип компенсации затрат является достаточным условием реализации требуемого действия.

Рассмотрим теперь, какое действие следует реализовывать центру, то есть каково оптимальное значение согласованного плана х є S.

Так как в силу (6)-(7) стимулирование равно затратам агента, то оптимальным реализуемым действием х является действие, максимизирующее на множестве S разность между доходом центра и затратами агента. Следовательно, оптимальный согласованный план может быть найден из решения следующей стандартной оптимизационной задачи:

*

х = arg max {Н(х) - с (х)}, (8)

xeS

которая получила название задачи оптимального согласованного планирования [3]. Действительно, то действие, которое центр собирается побуждать выбирать агента, может интерпретироваться как план - желательное с точки зрения центра действие агента. В силу принципа компенсации затрат план является согласованным (напомним, что согласованным называется план, выполнение которого выгодно агенту), значит центру в силу (8) остается найти оптимальный согласованный план.

Значение целевой функции центра при использовании оптимальной компенсаторной системы стимулирования в рамках гипотезы благожелательности равно:

А = max {H(x) - с(х)}.

XGS

*

Условие оптимальности плана х в рассматриваемой модели (в предположении дифференцируемости функций дохода и затрат, а также вогнутости функции дохода центра и

выпуклости функции затрат агента) имеет вид: dH ( х*) dc(x*) dH ( y)

= . Величина —— в экономике называется

dy dy dy

предельной производительностью (MRP - marginal rate of

production), а величина dc(y) - предельными затратами (MC

dy -

marginal costs). Условие оптимума (MRP = MC) определяет действие x и так называемую эффективную заработную плату c (х ).

Отметим еще одну важную содержательную интерпретацию условия (9). Оптимальный согласованный план х максимизирует разность между доходом центра и затратами агента, то есть доставляет максимум суммы целевых функций (1) и (2) участников ОС, и, следовательно, является эффективным по Парето11.

Подчеркнем, что компенсаторная система стимулирования (7) не является единственной оптимальной системой стимулирования - легко показать, что в рамках гипотезы благожелательности решением задачи (5) является любая система стимулирования s (•), удовлетворяющая следующему условию: s (х ) = c (х ), " y ^ y s (y) < c (y) (см. рис. 2.2, на котором приведены эскизы двух оптимальных систем *

* ч

стимулирования - s1 и s2 ).

Область компромисса является чрезвычайно важным с методологической точки зрения понятием. Ее непустота отражает наличие возможности согласования интересов центра и агента в существующих условиях. Поясним последнее утверждение.

Рис. 2.2. Оптимальные системы стимулирования

В формальной модели стратегии участников ограничены соответствующими допустимыми множествами. Учет ограничений индивидуальной рациональности агента и центра (условно можно считать, что неотрицательность целевой функции центра отражает ограничения финансовой эффективности деятельности центра - затраты на стимулирование агента не должны превышать доход от результатов его деятельности), а также условий согласования приводит к тому, что множество «рациональных» стратегий - область компромисса - оказывается достаточно узкой.

Фактически компромисс между центром и агентом заключается в дележе полезности А, равной разности полезностей в точках А и В на рис. 2.1. Делая первый ход (предлагая контракт), центр «забирает» эту разность себе, вынуждая агента согласиться с резервным значением полезности. Легко проверить, что в противоположной ситуации, когда первый ход делает агент, предлагая контракт центру, нулевую полезность получает центр, а агент «забирает» разность А между полезностями в точках А и В себе. Возможны и промежуточные варианты, когда принцип дележа прибыли А между центром и агентом оговаривается заранее в соответствии с некоторым механизмом компромисса [16].

Из проведенного выше анализа следует, что решение задачи стимулирования может быть разделено на два этапа. На первом этапе решается задача согласования - определяется множество реализуемых при заданных ограничениях действий - множество согласованных планов. На втором этапе решается задача оптимального согласованного планирования - ищется реализуемое действие, которое наиболее предпочтительно с точки зрения центра. Подобная идеология разбиения решения задачи управления ОС на два этапа широко используется в теории управления и при решении более сложных задач - см. [24, 28].

В рамках полученного выше оптимального решения задачи стимулирования (то есть при использовании центром компенсаторной системы стимулирования) значение целевой функции агента в случае выполнения плана равно нулю (или резервной полезности плюс мотивирующая надбавка). Поэтому особого внимания, в силу широкой распространенности на практике, заслуживает случай, когда в условиях трудового контракта (или договора между заказчиком-центром и исполнителем-агентом) производится фиксация норматива рентабельности р > 0 агента, то есть ситуация, когда размер вознаграждения агента зависит от его действия следующим образом:

Данная система стимулирования называется системой стимулирования с нормативом рентабельности [16].

Предполагая, что резервная полезность исполнителя равна нулю, получаем, что задача оптимального согласованного планирования при этом имеет вид (ср. с (8)):

х*(р) = аг§ тах {Н(у) - (1 + р) с(у)}. Следовательно, максимальное значение целевой функции центра равно:

А (р) = Н(у(р)) - (1 + р) с (у (р)).

Легко видеть, что V р > 0 А ( р) < А.

Рассмотрим иллюстративный пример. Пусть Н(у) = у, с (у) = У/2 г, где г - тип агента (параметр, отражающий

*

эффективность его деятельности. Тогда х (р) = г/(1 + р), А (р) = г / [2 (1 + р)]. Из условий индивидуальной рациональности следует, что р > 0. В рассматриваемом примере при

*

быль агента рс (х (р)) достигает максимума при р = 1, то есть агенту выгодно вдвое завысить стоимость выполняемых работ. С точки зрения центра наиболее предпочтителен нулевой норматив рентабельности.

Завершив рассмотрение примера, отметим, что, как следует из сказанного выше, в рамках введенных предположений система стимулирования К-типа является оптимальным решением задач стимулирования. Казалось бы, что можно еще «вытянуть» из этой модели? Все дело в том, что ранее считалось, что компенсаторная система является допустимой. Однако на практике это не всегда так - центр может быть жестко ограничен некоторым фиксированным классом систем стимулирования, причем эти ограничения могут быть как экзогенными - например, определяться правовыми нормами, регулирующими оплату труда, так и эндогенными - по тем или иным причинам центр может быть склонен к использованию, например, сдельной или повременной оплаты, а не к простой компенсации затрат [23] (см. следующий раздел и

[29]). 2.2.

<< | >>
Источник: Васильева О.Н., Засканов В.В., Иванов Д.Ю., Новиков Д.А.. Модели и методы материального стимулирования (теория и практика) / Под ред. проф. В.Г. Засканова и проф. Д.А. Новикова. - М.: ЛЕНАНД. - 288 с.. 2007

Еще по теме Задача стимулирования:

  1. 4. Сущность и задачи стимулирования
  2. Решение задачи стимулирования работников СКП в зависимости от интенсивности труда
  3. Постановка задачи материального стимулирования работников сборочного производства в зависимости от уровня интенсивности труда
  4. Экономическое стимулирование третьего поколения: интегрированное стимулирование и системы защиты
  5. Основные задачи повышения конкурентоспособности ФИРМЫ Задача первая: глобализация
  6. 2. БАЗОВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СТИМУЛИРОВАНИЯ
  7. Механизмы унифицированного стимулирования
  8. МОРАЛЬНОЕ СТИМУЛИРОВАНИЕ
  9. 3. Стимулирование сбыта
  10. Стимулирование сбыта
  11. 2. Стимулирование сбыта
  12. Механизмы стимулирования нескольких агентов
  13. Стимулирование сбыта
  14. В ЧЕМ ПОЛЬЗА ПЕРЕЧИСЛЕННЫХ ЗАДАЧ БИЗНЕСА Влияние задач бизнеса на природу конкуренции
  15. Стимулирование сбыта
  16. Базовые механизмы стимулирования
  17. Ранговые системы стимулирования
- Cвязи с общественностью - PR - Бренд-маркетинг - Деловая коммуникация - Деловое общение и этикет - Делопроизводство - Интернет - маркетинг - Информационные технологии - Консалтинг - Контроллинг - Корпоративное управление - Культура организации - Лидерство - Литература по маркетингу - Логистика - Маркетинг в бизнесе - Маркетинг в отраслях - Маркетинг на предприятии - Маркетинговые коммуникации - Международный маркетинг - Менеджмент - Менеджмент организации - Менеджмент руководителей - Моделирование бизнес-процессов - Мотивация - Организационное поведение - Основы маркетинга - Производственный менеджмент - Реклама - Сбалансированная система показателей - Сетевой маркетинг - Стратегический менеджмент - Тайм-менеджмент - Телекоммуникации - Теория организации - Товароведение и экспертиза товаров - Управление бизнес-процессами - Управление знаниями - Управление инновационными проектами - Управление качеством товара - Управление персоналом - Управление продажами - Управление проектами - Управленческие решения -