В чем заключается метод прогнозирования динамических рядов с помощью экспоненциального сглаживания?

 
Метод экспоненциального сглаживания является одним из распространенных методов экстраполяции динамических рядов. Сущность метода заключается в сглаживании исходного динамического ряда взвешенной скользящей средней, веса которой подчиняются экспоненциальному закону.

 

   Формула 			 

 

   Формула
 

  
В качестве аппроксимирующей зависимости для прогнозирования динамического ряда gt;gt;(0 в методе экспоненциального сглаживания применяется полином следующего вида
(6.31)
где Ь0, Ь]Г ..., Ьр — коэффициенты аппроксимирующей зависимости; р — порядок полинома.
Для прогнозирования этим методом используется понятие экспоненциальной средней.

/=0
Экспоненциальной средней первого порядка для ряда (6.31) называется функция вида:
(6.32)
где а — параметр сглаживания (0lt; а lt; 1);
(6.33)
экспоненциальная среднего к-то порядка имеет вид:

Для определения экспоненциальной средней /с-то порядка Брауном была выведена следующая рекуррентная формула
^ 1 (у) = а#“11 (у) + (1 - а)5}*| (у).              (6.34)
При построении прогноза методом экспоненциального сглаживания одной из основных проблем становится выбор значения параметра сглаживания а.
Часто для определения а (если число членов исходного динамического ряда мало) используют формулу:
              г.              (6.35)
и + 1
Если число членов в ряде велико, то а определяется исходя из количества точек т в интервале сглаживания
2
а =              г.              (6.36)
т +1
Рассмотрим применение метода экспоненциального сглаживания, когда аппроксимирующая зависимость (тренд) описывается линейной функцией (р = 1) и параболой (р = 2).
Модель прогнозирования при линейном тренде (линейная модель Брауна)
В этом случае аппроксимирующая зависимость (6.31) приобретает вид:
у(0 =Ьй+ V-              (6-37)
Для того, чтобы воспользоваться формулами (6.32) — (6.34) нахождения экспоненциальных средних, необходимо иметь начальные приближения. Для линейного тренда они равны:
lt;«8gt;
4г|(gt;')=^-2lt;1-аЧ;              (6.39)
а
где Ь0 и Ь! — значения коэффициентов, получаемые при аппроксимации исходного динамического ряда линейной функции вида (6.37).
Коэффициенты Ь0кЬ1 находятся методом наименьших квадратов. Экспоненциальные средние 1-го и 2-го порядков будут соответственно определяться рекуррентными формулами вида (6.34):
5,111 (у) = а у, + (1 - а)^1!1, (у);              (6-40)
(у) = а5,[11 (у) + (1-а)5$ (у);              (6.41)
Оценки коэффициентов линейного тренда, полученные с учетом экспоненциальных весов, будут иметь вид:
$, = И!"()0-5Р(,0;              lt;6-42gt;
(6.43)
Прогноз на / шагов (за время 11) будет выглядеть так:
У*,=к+Ь\Ь-(6.44)
Ошибка прогноза определяется по формуле
а . = аг г —~з-[1 +4(1 -а) + 5(1-а)2 + 2а(4-3а)]^ + 2а2^2,              (6 45)
\|(2-а)              v ‘ ;
где о, — ошибка аппроксимации основного уравнения для тренда.
Модель прогнозирования при параболическом тренде
Аппроксимирующая зависимость (тренд) имеет вид:
У(0 = /Ь+Ь1( + ^Ь2^-(6‘46)
Начальные приближения определяются по формулам
(6.47)
а              2а
о(21/ \ а 2(1-а) (1-а)(3-2а)
=              (6-48)
а              а
а              2а
где Ьй, Ьх, Ь2 — определяются по исходному динамическому ряду методом наименьших квадратов.
Экспоненциальные средние рассчитываются по формулам:
я!11 (у) = ауг + 0 - Су);              (6'50^
5|21 (у) = аЛ™ (у) + (1- а)5*_2{ (у);              (6.51)
5р] {у) = а5'21 (у) + (1-а)5|3і (у).              (6.52)
Оценки коэффициентов параболической зависимости для тренда будут иметь вид
4=3[5)11(у)-5')21(д;)] + 5’Р](у);              (6.53)
Ь[=—^-у[(6-5а)5)11(7)-2(5-4а)5Р(3;) + (4-За)5Р(;;)];              (6.54)
2(1 -а)
amp;г =              (у)-2^21 (у)+і)31 М1.              (6.55)
(1-а)
Прогноз на момент й будет равен
Уі, =4 + V/ + 2^'              (6.56)
Ошибка прогноза
сгу, *о^2а + Ъ^+Ъо?71.(6.57)
Оценка коэффициентов аппроксимирующей зависимости методом наименьших
квадратов
В случае равной точности измерений для динамического ряда, заданного таблицей (у^), /=1, п, критерий оптимальности МНК будет иметь вид
5= 'Е[У1-/(*пЬоА,--;Ьр)]2^тт,(6.58)
где/(7., Ь0, Ь— аппроксимирующая зависимость вида (6.31).
Дифференцируя (6.58) по параметрам Ьд, Ьр Ьр и приравнивая частные производные нулю, получаем систему нормальных линейных уравнений:
[пь0+ь1^1 +... + Ьр^р =^у;
+ + - + ьр^р+1 =
(6.59)
Решая систему (6.59), находим значения параметров (коэффициентов) Ь0, Ьх, Ьр аппроксимирующей зависимости.
Рассмотрим для примера определение по МНК коэффициентов Ь0, Ь{ для линейной зависимости (6.37).

Коэффициенты Ь0, 6, определяем, решая систему (6.59) для р=1 с помощью определителей. Тогда
А) =тр Ь\ =пgt;.              (66°)
где /)0, /),, /)2 — определители, вычисляемые по формулам1gt;1gt;
А,
;А =
;^2 =
(6.61)
йЕя I
Е'/Е^і

Основная ошибка аппроксимации МНК будет равна(6.62)
і
а, =
Ёьgt;/Мі,--Л)]2
ы                           

Пример прогнозирования объема продаж методом экспоненциального сглаживания
Рассмотрим задачу прогнозирования объема продаж ГП фирмы с помощью линейной модели Брауна.
Исходный ретроспективный ряд объема продаж за период с 1998 по 2002 год приведен в табл. 6.16.
Таблица 6.16. Исходный динамический ряд объемов продаж ГП

Годы, ?

1998 г.

1999 г.

2000 г.

2001 г.

2002 г.

Объем продаж (тыс. долл.), у,

40

43

46

48

Прогноз

і

1

2

3

4

5


Для определения начальных приближений по формулам (6.38), (6.39) нам необходимо предварительно найти оценки коэффициентов линейного тренда
у(0= 0= Ь0 +Ь^.
Коэффициенты Ь0, Ь] определяем по МНК, используя данные табл. 6.16 и формулы (6.38), (6.39). Расчет сводим втабл. 6.17 столбцы 3—8.
Определяем коэффициенты линейного тренда по формулам (6.60), (6.61):4 10 10 30
177 10 456 30
4 177 10 456
= 20; Д, =
= 54;

Ь[ = /),//)„ = 750/20 = 37,5; Ь2 = /)2/Д0 = 54/20 = 2,7.
Уравнение линейного тренда, полученное методом МНК с использованием ретроспективного ряда (табл. 6.16), имеет вид
у =№ = 37,5 + 2,11.



Пери
од

Объем продаж, (тыс. У-е.), у,

Расчетные
значения

/'

Годы

вре
мени,
Ь


1,У|

ОД=37,5+ + 2,71

АУ,=
= Уг^)

Э,1’1

Э,“4

У*|

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

1
2
3
4

1998
1999
1998              2001

1
2
3
4

40
43
46
48

1
4
9
16

40
86
138
192

40.2              42,9 45,6
48.3

0,2
-0,1
-0,4
0,3

36,0
38.6
41.6

32,0
34,6
37,4

40.2
42.6
45.3
48.6

Итого

»=
=10

1У|=
=177

в,2=
=30

В,у|=
=456






5

2002
про
гноз



\/* — У 2002 -

48,3 + 2,731


44,2

40,1

51,0


Подставляя в полученное уравнение значения / = 1, 2, 3, 4 (табл. 6.17), получим расчетные значения аппроксимирующей зависимости (столбцы 7 табл. 6.17).
Находим разности Ау. = у. — /(/.) (столбцы 8 табл. 6.17) и подставляем их в формулу (6.45) для определения ошибки о,:
' I (0,2)2 + (О, I)2 + (0,4)2 + (О, З)2 03 4-1
Вычисляем параметр сглаживания а. Для этого используем формулу (6.35)
22
= 0,4
а =
п+1 4+1
Рассчитываем по формулам (6.38), (6.39) начальные приближения для определения экспоненциальных средних:
5™ =37,5-^^2,7 = 33,45;
42|=37,5-2(10^2,7 = 29,4.
Далее формируем рекуррентную процедуру вычисления экспоненциальных средних и прогноза по формулам (6.40) — (6.44).
Данные расчета заносим в таблицу (6.17) (столбцы 9—11).
Шаг 1 : /=2(1998 г.)
=0,4-40+ (1-0,4)-33,45 = 36;
[421 =0,4-36+ (1-0,4). 29,4 = 32.
Находим значения коэффициентов прогноза (6.38):
4 = 2-36-32 = 40;^=Т^4'(36'32)'2-6'
Определяем новое значение (инверсный прогноз) по формуле (6.44) для 1998 г. (г=1): у*і998 = 40 + 2,6 х 1 = 42,6 тыс. долл.
Шаг 2 : / = 3 (1999 г.)
5|1] =0,4 -43 + (1-0,4) -36 = 38,6;
^2]= 0,4-38,6+ (1-0,4)-32 = 34,6.
4=42,6; 4=2,7.
у*т9 = 42,6 + 2,7 х 1 = 45,3 тыс. долл.
Шаг 3: 1 = 4 (2000 г.)
5'11 =0,4 -46 + 0,6 -38,6 = 41,6;
421 =0,4-41,6 + 0,6-34,6 = 37,4;
4=45,8; 4=2,8;
УІ995 = 45,8 + 2,8 • 1 = 48,6 тыс. долл.
Шаг 4 : ? = 5. Модель прогноза на 2001 г.
=0,4-48 + 0,6-41,6 = 44,2;
42] - 0,4 • 44,2 + 0,6 • 37,4 = 40,1;
4=48,3; 4=2,73.
Прогноз на 2001 г.
У*2001 = 48,3 + 2,73 х 1 = 51 тыс. долл.
Прогноз на 2002 г. будет равен •У*2оо2= 48,3 + 2,73 х 2= 53,76 тыс. долл.
Определим ошибку прогноза на 2002 г. по формуле (6.45)
стgt;* = 0,3 Г 0,4 , [1 + 4(1 — 0,4) + 5(1 — 0,4)2 + 2-0,4(4-30,4)]1 + 2-0,42 -1 »0,82. ]/(2-0,4)
 
<< | >>
Источник: В.И. Сергеев. Корпоративная логистика. 300 ответов на вопросы профессионалов / Под общ. и научн. редакцией проф. а. — М.: ИНФРА-М. - 976 с.. 2005

Еще по теме    В чем заключается метод прогнозирования динамических рядов с помощью экспоненциального сглаживания?:

  1. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ
  2. Сглаживание динамических рядов
  3. 183   Какие методы используются для прогнозирования параметров систем управления запасами и что такое метод экстраполяции динамических рядов?
  4. 2.3.3. Метод экспоненциального сглаживания
  5. Экспоненциальное сглаживание
  6. ГЛАВА 12.ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ СГЛАЖИВАНИЕ
  7. § 12.1. ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ
  8. Методы прогнозирования основных финансовых показателей Прогнозирование характеристик временных рядов
  9. B чем заключается организация деятельности автотранспортного предприятия с помощью программного комплекса «ТрансЛогистик»?
  10. ФАКТОРИЗАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ РЯДОВ
  11. Прогнозирование тенденций временных рядов
  12. ТЕМА 6. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
  13. В чем заключалось общее технологическое обновление? ?
  14. Письмо 1. В чем заключается твоя работа
  15. В чем заключалось общее технологическое обновление?
  16. В чем заключается информационное обслуживание склада?
  17.   В чем заключается алгоритм формирования складской сети?
  18. В ЧЕМ ЗАКЛЮЧАЮТСЯ ОСОБЕННОСТИ СОЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ?
- Cвязи с общественностью - PR - Бренд-маркетинг - Деловая коммуникация - Деловое общение и этикет - Делопроизводство - Интернет - маркетинг - Информационные технологии - Консалтинг - Контроллинг - Корпоративное управление - Культура организации - Лидерство - Литература по маркетингу - Логистика - Маркетинг в бизнесе - Маркетинг в отраслях - Маркетинг на предприятии - Маркетинговые коммуникации - Международный маркетинг - Менеджмент - Менеджмент организации - Менеджмент руководителей - Моделирование бизнес-процессов - Мотивация - Организационное поведение - Основы маркетинга - Производственный менеджмент - Реклама - Сбалансированная система показателей - Сетевой маркетинг - Стратегический менеджмент - Тайм-менеджмент - Телекоммуникации - Теория организации - Товароведение и экспертиза товаров - Управление бизнес-процессами - Управление знаниями - Управление инновационными проектами - Управление качеством товара - Управление персоналом - Управление продажами - Управление проектами - Управленческие решения -