Статистические характеристики пакета ценных бумаг. Влияние корреляции между ценами различных видов акций на итоговую эффективность портфеля

  Пусть х, 7= 1,..., п - доля общего вложения, приходящаяся на 7-й вид ценных бумаг, так что
п
X Х7 =1.              (4.6)
7=1
Эффективность портфеля Я очевидно, равна
Яр =Х ЯХг              (4.7)
7=1
если эффективность 7-го вида равна Я 7 .

Согласно правилам теории вероятностей ожидаемый эффект от портфеля равен
тр = Е(Яр) = X Х7Е(Я7 ) =Х Хіті ¦
7=1              7=1
Отклонение от ожидаемого значения равно
п
ЯР - тр =Х Х7(Я7 - т7)¦
7=1
Математическое ожидание квадрата этого отклонения есть дисперсия эффекта портфеля
Ур = Е[О^Р - тр )2 ]= XX ХХЕ[ - ті )(Я7 - т7 )]= XX УїХіХ7 ,
і=1 7=1              і 7'
где величины Уу = Е [(Яі — ті )(Я} — т}-)] являются ковариациями случайных величин Яі и Я 7 . Очевидно, что
У=а2,
7 7
т.е. Уц являются дисперсиями Я}.

Предположим сначала, что случайные эффекты от различных видов ценных бумаг, включенных в рассматриваемый портфель, взаимно независимы, точнее, некоррелированы, т.е. формально V.. = 0, I ф ].
Тогда
ур=Х* 2 °2,
з
а среднеквадратичное отклонение ор равно
о
Именно эта величина характеризует неопределенность, риск, связанный с вложением в портфель ценных бумаг. Зачастую этот риск так и именуют - «риск портфеля».
Допустим, что инвестор вложил свои деньги равными долями во все ценные бумаги. Тогда х. = 1 / п, и инвестор получит средний ожидаемый эффект
т
причем риск равен
о
і=і
Пусть о = тах о,.
Тогда
1( 2^ 1 = -[по )2 =^о• п              -]п
Вывод: при росте числа видов ценных бумаг п, включенных в портфель, риск портфеля ограничен и стремится к нулю при п ^ ж .
Этот результат известен в теории вероятностей как закон больших чисел, а в теории финансового риска - как эффект диверсификации (разнообразия) портфеля.
Отсюда вытекает главное практическое правило финансового рынка: для повышения надежности эффекта от вклада в рискованные ценные бумаги целесообразно делать вложе
ния не в один вид, а составлять портфель, содержащий возможно большее разнообразие ценных бумаг, эффект от которых случаен, но случайные отклонения независимы.
Практические следствия из этого правила диверсификации, проявляющиеся в самой организации финансового рынка, описаны ниже. Здесь же мы обратим внимание на то, что само это правило получено из предположения о независимости эффектов. Но эта гипотеза вызывает сомнения.
Пример 1. Рассмотрим условную ситуацию, когда инвестор может формировать портфель из различных видов ценных бумаг, эффективности которых взаимно некоррелированы. Ожидаемые значения эффективностей и их СКО приведены в таблице

]

1

2

3

4

5

6

ті

11

10

9

8

7

6

о

4

3

1

0.8

0.7

0.7


Если инвестор вложит свой капитал поровну в ценные бумаги только первых двух видов, то ожидаемая эффективность портфеля окажется чуть меньше, чем при покупке только одного вида              1
тр = ^ (11 +10) = 10,5,
но зато СКО портфеля окажется меньшим, чем у наименее «рискового» из двух
о              р = ^42 + 32 = 2,5.
В следующей таблице показаны ожидаемые эффективности и СКО портфелей, составленных поровну из первых двух, трех и т. д. ценных бумаг, с характеристиками из 1-й таблицы

п

2

3

4

5

6

тр

10.5

10

9.5

9

8.5

°р

2.5

1.7

1.23

1.04

0.87



Ясно, что диверсификация позволила снизить риск почти втрое при потере ожидаемой эффективности всего на 20%.

Мы живем в мире, где все взаимосвязано. Процент на вложения возникает не произвольно, а является отражением деловой активности компании, выпустившей ценные бумаги. Если деятельность компании дает высокую прибыль, то и акционер, являющийся номинальным совладельцем компании, получит большой доход. Если же прибыль окажется низкой или деятельность компании вообще окажется нерентабельной, то дивиденды выплачиваться не будут.
Более того, если информация о плохом состоянии дел компании окажется известной широкой публике (а это неизбежно), то цена акций на бирже резко снизится и эффект г будет отрицательным. Вместе с тем, повторяем, в экономике все взаимосвязано: например, при снижении деятельности автомобилестроительных фирм они уменьшат закупки металла у металлургов, шин - у представителей соответствующей отрасли промышленности и т.д.
Рассмотрим теперь формально, как отражается корреляция на эффективности портфеля ценных бумаг. Очевидно, что она не влияет на ожидаемую эффективность, однако дисперсия портфеля равна
^ = ХX *.а
i=1 1=1
Удобно ввести в рассмотрение величины = 1 у.п называемые коэффициентами корреляции. Тогда
УР = Х X X Х° Л К
а
/=1 1=1
Для того, чтобы понять влияние корреляции, достаточно рассмотреть простейшие случаи. Пусть, например, все г .. = 1
(случай прямой корреляции). Тогда
2
'X,
Х°,- х /
Попробуем произвести простую диверсификацию, вло
жив деньги в равных долях, х = 1/п.
кр =
Если о = тах 0і,0 = тіп о і, то при всех п
оlt;орlt;о •
При полной корреляции диверсификация не дает положительного эффекта: риск портфеля оказывается просто равен среднему риску от отдельных вложений и не стремится к нулю с увеличением числа видов ценных бумаг.
Положительная корреляция между эффективностями двух ценных бумаг имеет место, когда курс обеих определяется одним и тем же внешним фактором, причем изменение этого фактора действует в одну и ту же сторону. Например, пусть изменение курсовой цены акций электроэнергетической и
транспортной компаний ЛСэ и ЛСт пропорционально изменению цен на нефть Л Сн:
Л Сэ=0.6 Л Сн, Л Ст=0.3 Л Сн.
Тогда эффективности игры на курсах этих акций пропорциональны:
ЛС С
Г = э = 2 Т 0 Г ,
'э С              С
Сэ0              Сэ0
где Сэ0, СТ0 - начальные цены акций. Цены на нефть меняются произвольно, непрогнозируемо, но при этом эффективности курсов обоих видов акций всегда меняются в одну и ту же сторону.
Диверсификация путем покупки и того, и другого вида бесполезна: эффективность портфеля окажется столь же случайной, сколь случайна цена нефти.
Теперь рассмотрим ситуацию полной обратной корреляции, когда р .. = -1, іф]. Для понимания сути дела достаточно проанализировать портфель, состоящий из 2 типов ценных бумаг.
К = (о,х, — б2х2)2.

Если х2 = б1 х/б2, то V = 0.
Пример 2. Пусть эффективности двух ценных бумаг, имеющих одинаковую стоимость, находятся в полной обратной корреляции. СКО эффективности первой из них равно 2.0, СКО второй равно 3.0.
Тогда безрисковым окажется портфель, в котором на каждые три ценные бумаги 1 -го вида приходится две 2-го вида.
Мы можем сделать интересный вывод: при полной обратной корреляции возможно такое распределение вложений между различными видами ценных бумаг, что риск полностью отсутствует.
Полная обратная корреляция между эффективностями двух ценных бумаг - достаточно редкое явление.
Однако мы уже приводили условный пример такого рода: возможные изменения эффективности кредитования под залог, вызванные случайным возникновением пожара, полностью компенсировались выплатами по страховому полису.
Наиболее реальными являются ситуации, когда нет ни полной прямой, ни полной обратной корреляции, но разумная диверсификация приводит к снижению риска без потери ожидаемой эффективности.  
<< | >>
Источник: Севастьянов П.В.. Финансовая математика и модели инвестиций. 2001

Еще по теме Статистические характеристики пакета ценных бумаг. Влияние корреляции между ценами различных видов акций на итоговую эффективность портфеля:

  1. Портфель ценных бумаг. Эффективность ценных бумаг как случайная величина. Влияние склонности к риску лиц, принимающих решения
  2. Портфель из двух видов ценных бумаг
  3. Характеристики портфеля ценных бумаг
  4. ЭФФЕКТИВНЫЕ ПОРТФЕЛИ ЦЕННЫХ БУМАГ
  5. Оценка статистических характеристик ценных бумаг
  6. Виды ценных бумаг и их характеристика. Факторы, влияющие на курс ценных бумаг
  7. ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ
  8. Управление портфелем ценных бумаг
  9. Глава 6 Управление портфелем ценных бумаг фирмы
  10. Оптимальный портфель с добавлением безрисковых ценных бумаг
  11. 10.7. Формирование портфеля ценных бумаг и управление им
  12. АНАЛИЗ ДОХОДНОСТИ МЕЖДУНАРОДНОГО ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ
  13. ПОНЯТИЕ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ И ПРИНЦИПЫ ЕГО ФОРМИРОВАНИЯ
  14. 12.3. Выбор состава оптимального портфеля ценных бумаг