Моделирование случайных величин и временных рядов

Существенной специфической характеристикой имитационной модели является наличие вектора неконтролируемых внешних факторов Ъ, (t), оказывающих воздействие на состояние УДС в каждый момент времени. Распространена ситуация, когда эти факторы имеют случайную природу (например, значения речного стока и осадков в модели водохранилища).
В этом случае в каждый момент времени ^ (0 являются случайными величинами, а их совокупность при t = i,...,T — дискретным случайным процессом, который принято называть временным рядом.

Начнем с задачи моделирования случайных величин. Пусть известна функция распределения F(x) случайной величины х, F(x) є [0,1]. Для компьютерной реализации (генерирования) такой случайной величины х будем использовать равномерно распределенные случайные величины г на отрезке [0, 1], т.е. F(r) = r, 0<г<1. Поскольку F(x) изменяется на отрезке [0, 1], то практически для всех видов распределения можно считать, что F(x)=r . Тогда величину х можно однозначно определить из этого соотношения, т.е. для конкретного значения г = г$ найти величину

х = ?0, связанную с г0 обратной функцией xQ = F~1 (rQ).

Известно множество методов машинной имитации равномерно распределенной случайной величины [21, 38].

Конгруэнтные методы опираются на рекуррентную формулу

(3.2.1)

пі +1 = ^ пі+ Iі (m°d т),

где nit т, X, ц. — натуральные числа. Перепишем соотношение (3.2.1) в виде

(3.2.2)

Если даны гс0, А. и ц, то (3.2.2) определяет последовательность целых чисел {rij, п2 > •••> >?••}> составленную из остатков от деле

ния на т членов последовательности Таким образом, для любого i> 1 справедливо неравенство ni й т. По целым числам последовательности {rei } можно построить последовательность } = {nt /тп} рациональных чисел из единичного интервала.

Мультипликативный метод позволяет получить последовательность неотрицательных чисел {nt }, не превосходящих тп, по формуле

ni +! = X Пі (mod m). (3.2.3)

Этот метод обладает лучшими статистическими свойствами по сравнению с конгруэнтными методами и требует небольшого объема машинной памяти.

Перечисленные методы позволяют получать последовательности так называемых псевдослучайных чисел, которые обладают сходными статистическими свойствами с числами, генерируемыми идеальным вероятностным устройством. Очевидно, что псевдослучайные числа не являются случайными в строгом смысле, поскольку они полностью определяются входными данными и параметрами датчика и пробегают конечные множества значений (последовательность псевдослучайных чисел имеет период). Однако если датчик выдерживает набор специальных статистических тестов [38], предназначенных для выявления отклонений различных вероятностных характеристик генерируемых последовательностей от их теоретических значений, то эти последовательности можно считать «практически» случайными. Использование «настоящих* случайных величин, генерируемых идеальными вероятностными устройствами, в имитационных экспериментах не практикуется еще и потому, что в этом случае нет возможности воспроизвести на ЭВМ проведенный ранее эксперимент.

Теперь обратимся к задаче моделирования временных рядов, т.е. последовательностей наблюдений, упорядоченных во времени. Поскольку в практических исследованиях наблюдения проводятся в основном в дискретные моменты времени, и даже в случае непрерывных наблюдений их результаты все равно приходится обрабатывать на ЭВМ, то будем рассматривать только дискретные последовательности.

Представим временной ряд в виде: {yt }, 1 = 1,..., Т, yt=f(t) + ut,

(3.2.4)

где {/(г)} — детерминированная последовательность наблюдений (систематическая составляющая временного ряда, или сигнал); {а1 } — последовательность случайных величин (случайная составляющая, или шум).

Рассмотрим два основных случая. 1.

Изменение значений yt происходит за счет систематической

составляющей. В этом случае последовательность f(t) называют трендом, а последовательность {ut} не зависит от времени, т.е. математическое ожидание ut равно нулю, дисперсия равна константе и значения и( в разные моменты некоррелированы.

Во многих случаях тренд является известной функцией времени и некоторых параметров. Если эта функция зависит от параметров линейно, то для моделирования тренда используется метод линейной регрессии, иначе подбираются другие виды зависимостей, причем точность приближения оценивается с помощью метода наименьших квадратов.

В случаях, когда тренд является неизвестной функцией времени, его можно представить в виде линейной комбинации известных функций (конечного отрезка ряда Фурье — для периодических трендов, полиномов различной степени — для монотонных трендов).

Если тренд настолько меняется за большой промежуток времени, что его невозможно приблизить полиномом низкой степени или коротким отрезком ряда Фурье, то используются непараметрические методы (процедуры сглаживания, метод переменных разностей).

Случайная составляющая ut генерируется одним из методов, рассмотренных для предыдущей задачи. 2.

Теперь рассмотрим временные ряды, для которых наиболее существенные свойства заключены в и( . Для простоты ограничимся стационарными случайными процессами ut = ^ (со, t), т.е. такими

случайными процессами, вероятностная структура которых не меняется со временем.

Наиболее часто стационарный процесс описывается моделью авторегрессии или стохастическими разностными уравнениями:

% (Ш, t) = yt + pt yt _ t + p2 yt_2 + Pp yt_p ,

причем Р} подбираются таким образом, что последователь

ность ир+ J, ир + 2> ••• является последовательностью независимых и

одинаково распределенных случайных величин.

Рассмотрим, как можно моделировать стационарный процесс, если известно, что он разложим в ряд Фурье.

Обозначим через ^((0) случайную величину с математическим ожиданием и дисперсией D^. Рассмотрим случайный процесс

?, (со, ?) такой, что для каждого фиксированного момента времени (Ф Е, (со, I является случайной величиной, которая называется сечением процесса в точке t С другой стороны, для каждого фиксированного значения соф существует неслучайная функция времени ^ (соф, t), которая называется траекторией процесса.

Основными характеристиками случайного процесса являются выборочное среднее т (t) = М^(оз, t) и выборочная дисперсия су (t) = D^ (со, () — функции времени, значения которых вычисляются для каждого сечения, а также ковариационная функция К , t2) = cov (^ (со, t1), ^ (со, t2), значения которой вычисляются в

каждом сечении как коэффициенты ковариации cov (^, ?2).

В частности, К (t, t) = о2 (t).

Пусть t^, ..., tk — последовательные моменты времени, которым

соответствует последовательность сечений {? (со,

Стационарным в узком смысле называется процесс, у которого совпадают функции F при смещении временного параметра

tt + т, t2 + т,..., tk + х,

а стационарным в широком смысле — процесс, для которого m(t) = 0, K(tv t2) = К (tx -t2) = K (t).

Рассмотрим процесс

^ (со, t) =А cos Xt + В sin Xt, (3.2.5)

где А=А(со), В = В(а}) — случайные величины такие, что МА = Мв = 0, МАВ = О, МАА = Мвв = D,

^ — параметр. Тогда Е, (со, t) — стационарный процесс, причем можно считать, что все стационарные процессы похожи на него. Если искать решение (3.2.5) в виде

5 ОМ) = 5 «О)/(0. (3.2.6)

ТО

4 (со, 0 = 4 (ш) е Лт = ^ (©) (cos Xt + і sin Xt), (3.2.7)

где m (t) = 0, ЛТ(т) = e Л У .

Сумма стационарных процессов, описываемых соотношением (3.2.7)

, также является стационарным процессом, т.е.

П

$«М) = ? (3.2.8)

ft = 1 —

стационарный процесс при — независимых переменных, т.е. при выполнении условия

f о, к*\,

М^і'\ , А = 1.

Здесь ..., — набор частот, соответствующих стационарному

процессу t, (со, ?).

Рассмотрим, как можно моделировать стационарный процесс, если известно, что он разложим во всюду сходящийся ряд (3.2.8). Определим на дискретном множестве частот Ц,..., Xкоторое

называется спектром, ступенчатую функцию Ф (А.) такую, что

х

К(т) = ? (3:2.9)

j= 1

Известно, что для каждого стационарного процесса корреляционная функция К (т) может быть разложена по формуле (3.2.9); функция Ф (А) называется спектральной.

Пусть спектральная функция дифференцируема, тогда существует/(А.) = Ф' (А.). Если величины % (со, ft), ?(©, t2) независимы, т.е.

то функцию/(А.) достаточно вычислять при Я. є [-Я, я], т.е.

оо

/(*•)= 2* X е-іХкК(ї).

— оо

Если / (А.) = ст2 /(2 7t) = const, то спектр является равномерным и процесс называется белым шумом. Отсюда возникает способ моделирования стационарных случайных процессов.

Пусть существует набор наблюдений, для которого построены функции К (г) и f{X). Пусть maxf(k)=f(kl). Рассмотрим процесс с частотой , т.е. приблизим исходный процесс доминирующей частотой и( = ^ (со, t) = е 1V = и j — первое приближение.

™ 2 1

Теперь рассмотрим новый процесс ut=ut-ut, для которого

снова определяем функции /(А.), а и приближаем его доминирующей частотой. Далее, аналогично, получаем процессы 3

1 2 4 2 3

и t =U t - и и t=U t - и t , и т.д.

Такие итерационные построения приводят к уменьшению дисперсии а и выравниванию функции /(А,), которая становится близкой к линейной, т.е. остаток является белым шумом F.

В итоге • исходный процесс может быть представлен в виде

и,^ = ^ (со, і) = и ^ + и [ + ... ?+? ц ^ + F. (3.2,10)

В реальных исследованиях, как правило, имеются лишь конечные отрезки временных рядов. В этом случае необходимы специальные преобразования функции К (т). 3.3.

Языки имитационного моделирования

Программная реализация имитационной модели может осуществляться как с помощью универсальных языков программирования (PASCAL, С, Delphi и т.д.), так и с помощью специализированных языков имитационного моделирования, среди которых наиболее известны Динамо, GPSS, Симула, CSL, SLAM и другие [10, 27, 40].

Принято различать дискретные, непрерывные и комбинированные языки имитационного моделирования. При дискретной имитации зависимые переменные изменяются дискретно в определенные моменты имитационного времени, называемые моментами наступления событий. Переменная времени в имитационной модели может быть непрерывной либо дискретной в зависимости от того, могут ли дискретные изменения зависимой переменной происходить в любые или только в определенные моменты времени.

При непрерывной имитации зависимые переменные модели изменяются непрерывно в течение имитационного времени. По времени непрерывная модель также может быть либо непрерывной, либо дискретной в зависимости от того, будут ли значения зависимых переменных доступны в любой точке или только в определенные моменты имитационного времени.

Наконец, при комбинированной имитации зависимые переменные могут изменяться непрерывно, дискретно или непрерывно с наложенными дискретными скачками. Время изменяется либо дискретно, либо непрерывно. Наиболее важный аспект комбинированной имитации заключается в возможности взаимодействия между дискретно и непрерывно изменяющимися переменными [40].

Языки имитационного моделирования ориентированы на решение определенных классов задач. Эти языки являются концептуально направленными, что существенно упрощает программирование моделей с их помощью вплоть до того, что к программированию можно приступать сразу после составления концептуальной модели, минуя стадию ее формализации в виде логико-математических конструкций. К основным преимуществам имитационных языков относятся: удобство описания статической структуры модели и ее динамики, возможность проведения статистических испытаний, удобство сбора, анализа и вывода данных, простота отладки и контроля работы программы, а также наглядность языка, т.е. легкость восприятия компьютерной программы. К недостаткам специализированных имитационных языков относится их «жесткость»: они позволяют программировать модели строго определенного типа и не годятся или мало эффективны для программирования моделей иных типов. Кроме того, для специализированных языков необходимы соответствующие трансляторы. В свою очередь, универсальные языки лишены указанных недостатков, но зато программы на универсальном языке оказываются более громоздкими, трудночитаемыми, а разработка программ требует больших затрат труда и машинного времени по сравнению с программированием на специализированном языке.

Как пишет Е.Киндлер, «языки моделирования представляют безграничное богатство способов видения реального мира и его динамических систем, в них так отражены многие сложности реальности, как они изучаются разными научными и техническими дисциплинами. Другими словами, можно сказать, что противоположные свойства языков моделирования точно отражают разнообразные противоположности объективной реальности, изучаемой в настоящее время с помощью ЭВМ» [20, с. 234]. 3.4.

<< | >>
Источник: Угольницкий ГЛ.. Управление эколого-экономическими системами. — М.: Вузовская книга. — 132 с.. 1999

Еще по теме Моделирование случайных величин и временных рядов:

  1. Моделирование случайных величин
  2. Случайные составляющие рядов динамики и интервальный прогноз
  3. Прогнозирование ожидаемого значения случайной величины.
  4. ТЕМА 4. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ПО ВЫБОРКЕ ЗНАЧЕНИЙ.
  5. Оценка точности прогнозирования случайной величины.
  6. 3.3.2. Моделирование случайных событий
  7. 3.3.4. Моделирование случайных векторов
  8. Выяснение субъективного распределения вероятностей для случайной величины р
  9. Технология моделирования случайных факторов Генерация псевдослучайных чисел
  10. Характеристики временных рядов
- Регулирование и развитие инновационной деятельности - Антикризисное управление - Аудит - Банковское дело - Бизнес-курс MBA - Биржевая торговля - Бухгалтерский и финансовый учет - Бухучет в отраслях экономики - Бюджетная система - Государственное регулирование экономики - Государственные и муниципальные финансы - Инновации - Институциональная экономика - Информационные системы в экономике - Исследования в экономике - История экономики - Коммерческая деятельность предприятия - Лизинг - Логистика - Макроэкономика - Международная экономика - Микроэкономика - Мировая экономика - Налоги - Оценка и оценочная деятельность - Планирование и контроль на предприятии - Прогнозирование социально-экономических процессов - Региональная экономика - Статистика - Страхование - Транспортное право - Управление финасами - Финансовый анализ - Финансовый менеджмент - Финансы и кредит - Экономика в отрасли - Экономика общественного сектора - Экономика отраслевых рынков - Экономика предприятия - Экономика природопользования - Экономика труда - Экономическая теория - Экономический анализ -